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以通过冷漠脸生成笑脸为例
现在我们有一些冷漠脸和对应的笑脸的数据，我们的目标是把手上的一张额外的冷漠脸的变成对应的笑脸。
那么我们可以这么做，我们的目的是要知道冷漠脸和笑脸隐藏在背后的关系，这个我们通过标准化流的方式来进行。假设存在一个工具“标准化流”，可以将这个图像转化为一维的数据.
冷漠脸 ----[逆标准化流]----> Vector z1;
笑脸 ----[逆标准化流]----> Vector z2;
那么 z2 - z1 就代表在 z 空间中，冷漠脸指向笑脸的矢量。这个就是我们要求的东西（也即所谓的规律）。
现在我们可以把另外一张单独的冷漠脸的图片通过“逆标准化流”变到z空间，然后得到一个矢量 z3， 让 z3 加上 z2-z1, 这就得到了这张冷漠脸在 z 空间中对应的笑脸的矢量。然后我们再通过“”标准化流“”变回图片，就完成了我们的目标。
数学基础
行列式
表示对图像的基的放大倍数；
Jacobi 矩阵
表示的是:
\(y=f(x)\) \(x=f^{-1}(y)\) 但并非所有的反函数都容易写出来。但总是可以这么写（这一步是没有近似的）: \(\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\) 其中的 $\frac{dy}{dx}$ 就是 Jacobi 矩阵.
这是一个线性的矩阵。
Change of Variable Theorem
设存在一个变换函数:
\[x=T(z)\]那么： \(\int_{x} p_{x}(\mathbf{x}) d \mathbf{x}=1=\int_{z} p_{z}(\mathbf{z}) d \mathbf{z}\)
由于不管你怎么变量替换，事件A发生的概率总是确定的，不管你用 $x$ 还是用 $z$ 来描述它。所以
\(\left|p_{x}(\mathbf{x}) d \mathbf{x}\right| =\left|p_{z}(\mathbf{z}) d \mathbf{z}\right| \\ p_{x}(\mathbf{x}) =p_{z}(\mathbf{z})\left|\frac{d \mathbf{z}}{d \mathbf{x}}\right|\) \(p_{x}(\mathbf{x})=p_{z}(\mathbf{z})\left|\frac{\partial T^{-1}(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}\right|\)